Glossar

Verteilungsfunktion und Dichte

Eine stetige Zufallsvariable X heißt mit Erwartungswert µ und Varianz σ2 normalverteilt, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X höchstens gleich x ist, durch das Integral der Gaußschen Fehlerfunktion gegeben ist, in Formeln:

Hierfür schreibt man abkürzend   X:N(µ,σ2). F(x)=P(Xx) ist die Verteilungsfunktion der Normalverteilung. Deren erste Ableitung

ist die Dichtefunktion der Normalverteilung. Das Bild der Dichte ist die bekannte Glockenkurve (Abbildung 3.10):
 
Abbildung 3.10: Dichtefunktion der Normalverteilung N(µ,σ2)

Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung hat einen sigmoiden (s-förmigen) Kurvenverlauf (Abbildung 3.11).

Abbildung 3.11: Verteilungsfunktion der Normalverteilung N(µ,σ2)

Es gibt die Normalverteilung für jedes µ und jedes positives σ.
 
Aus den Formeln und den Abbildungen werden die folgenden Eigenschaften der Normalverteilung deutlich:

 

  • Die Dichtefunktion ist symmetrisch um den Erwartungswert µ.
  • Sie hat zwei Wendepunkte bei x = µ-σ und x = µ+σ.
  • Sie erreicht ihr Maximum an der Stelle x = µ.
  • Der Erwartungswert und der Median stimmen überein
  • Die Dichtefunktion f(x) ist für jede reelle Zahl definiert und immer größer als 0.
  • Für x -> ± nähert sie sich asymptotisch der x-Achse.

 
N(0,1), die Normalverteilung mit Erwartungswert 0 und Varianz 1, nennt man Standardnormalverteilung.
 
Abbildung 3.12: Dichtefunktion der Standardnormalverteilung N(0,1)